纸上谈兵: 数学归纳法, 递归, 栈

  • 时间:
  • 浏览:0

作者:Vamei 出处:http://www.cnblogs.com/vamei 欢迎转载,也请保留这段声明。谢谢! 

数学归纳法

数学归纳法(mathematical induction)是有本身数学证明最好的法子,常用于证明命题(命题是对某个疑问图片的描述)在自然数范围内成立。随着现代数学的发展,自然数范围内的证明实际上构成了其他其他领域(比如数学分析)的基础,什么都有数学归纳法对于整个数学体系至关重要。

数学归纳法有本身非常简单。是愿因亲戚亲戚亲们要我证明某个命题对于自然数n都成立,那末 :

第一步 证明命题对于n = 1成立。

第二步 假设命题对于n成立,n为任意自然数,证明在此假设下,命题对于n+1成立。

命题得证

想一下中间的5个步骤。它们实际上愿因,命题对于n = 1成立 -> 命题对于n = 2成立 -> 命题对于n = 3成立……直到无穷。但会 ,命题对于任意自然数都成立。这就好像多米诺骨牌,亲戚亲戚亲们选折 n的倒下会愿因n + 1的倒下,但会 推倒第一块骨牌,就能保证任意骨牌的倒下。

亲戚亲戚亲们来看一下使用数学归纳法来证明高斯求和公式:

n为任意自然数。

(这些公式据说是高斯小学时想出来的。老师惩罚全班同学,需要算出1到5000的累加,可以 回家。于是高斯想出了中间的最好的法子。天才都在被逼出来的么?)

亲戚亲戚亲们的命题是: 高斯求和公式对于任意自然数n都成立。

下面为数学归纳法的证明步骤:

第一步 n = 1,等式左边(1的累加)为1,右边(右边公式代入n=1)也为1,等式两边相等,等式成立,但会 命题对于 n = 1 成立。

第二步 假设上述公式对于任意n成立, 即1到n的累加为n*(n+1)/2

    那末 ,对于n+1,等式的左边(从1到n+1的累加)等于n*(n+1)/2 + (n+1),即(n+1)*(n+2)/2

                  等式的右边的n用n+1代替,成为(n+1)*(n+2)/2

    等式两边相等,等式成立。但会 ,当假设命题对于n成立时,命题对于n+1成立。

但会 ,命题得证。

递归

递归(recursion)是计算机中的重要概念,它是指5个计算机任务管理器调用其自身。为了保证计算机不陷入死循环,递归要求任务管理器有5个都可以 达到的终止条件(base case)。比如下面的任务管理器,是用于计算高斯求和公式:

/*
 * Gauss summation
 */

int f(n)
{
    if (n == 1) { 
        return 1;  // base case
    }
    else {
        return f(n-1) + n;  // induction
    }
}

在任务管理器中规定了f(1)的值,以及f(n)和f(n-1)的关系。这正是数学归纳法思想的体现。要我得到f(n),需要计算f(n-1);要我f(n-1),需要计算f(n-2)……直到f(1)。是愿因亲戚亲戚亲们是愿因知道了f(1)的值,亲戚亲戚亲们就可以 不能填补前面所有的空缺,最终返回f(n)的值。

递归是数学归纳法在计算机中的任务管理器实现。使用递归设计任务管理器的5个,亲戚亲戚亲们设置base case,并假设亲戚亲戚亲们会获得n-1的结果,并实现n的结果。这就好像数学归纳法,亲戚亲戚亲们只关注初始和衔接,而需要关注具体的每一步。

递归是用栈(stack)数据底部形态实现的。正如亲戚亲戚亲们中间所说的,计算f(n),需要f(n-1);计算f(n-1),需要f(n-2)……。亲戚亲戚亲们在寻找到f(1)5个,会有其他空缺: f(n-1)的值哪几种? f(n-2)的值是哪几种? …… f(2)的值是哪几种?f(1)的值是哪几种? 亲戚亲戚亲们的第5个疑问图片是f(n)是哪几种,结果,这些疑问图片引出下5个疑问图片,再下5个疑问图片…… 每个疑问图片的解答都依赖于下5个疑问图片,直到亲戚亲戚亲们找到第5个可以 不能回答的疑问图片: f(1)的值是哪几种?

亲戚亲戚亲们用栈来保存亲戚亲戚亲们在探索过程中的疑问图片。C语言中,函数的调用是愿因是用栈记录离场情境和返回地址。递归是函数对自身的调用,什么都有很自然的,递归用栈来保存亲戚亲戚亲们的“疑问图片” 。

亲戚亲戚亲们假设栈向下增长。首先,亲戚亲戚亲们调用f(5000),那末 当执行到

return f(n-1) + n; 

f(5000)暂停执行,并记录当前的情况汇报,比如n的值,当前执行到的位置。之后 调用f(99),栈增加5个frame,直到调用f(98) ... 栈不断增长,直到f(1)。f(1)得到结果1,并返回给f(2)。f(1)栈frame删除,转移到f(2)frame情境中继续执行

return f(n-1) + n; 

但会 返回给f(3) ... 直到f(99)返回给f(5000),并执行

return f(n-1) + n; 

返回f(5000)的值,得到结果。

上述过程是C编译器自动完成的。在实现递归算法时,能不可以 不能自行手动实现栈。5个可以 不能得到更好的运行数率。

总结

数学归纳法

递归

欢迎继续阅读“纸上谈兵: 算法与数据底部形态”系列。